Apa yang Disebut The Banach-Tarski Paradox?

Ilustrasi/quantamagazine.org

Paradoks Banach-Tarski adalah salah satu paradoks matematis paling mengejutkan dan kontroversial dalam teori himpunan dan geometri. 

Dinamai dari dua matematikawan Polandia, Stefan Banach dan Alfred Tarski, paradoks ini menggambarkan ide yang sangat tidak intuitif bahwa suatu objek tiga dimensi, seperti bola, dapat "dipotong" menjadi sejumlah potongan yang kemudian dapat diatur kembali menjadi dua atau lebih salinan yang identik dengan bola aslinya, tanpa menambah atau mengurangi materi. 

Paradoks ini menunjukkan bagaimana konsep pemotongan dan penggabungan himpunan dalam matematika dapat menghasilkan hasil yang sangat bertentangan dengan intuisi kita. 

Ide dasar paradoks ini berhubungan dengan konsep himpunan tak terhingga. Konsep ini adalah dasar dari teori himpunan, yang merupakan cabang matematika yang mempelajari bagaimana objek-objek dapat dikelompokkan atau diatur dalam himpunan. Dalam konteks paradoks Banach-Tarski, kita berfokus pada himpunan tak terhingga yang memiliki "kardinalitas" tertentu, yang mengukur ukuran atau jumlah elemen dalam himpunan.

Paradoks ini pertama kali muncul dalam teori himpunan oleh Banach dan Tarski pada tahun 1924. Mereka membuktikan bahwa ada cara untuk membagi bola tiga dimensi ke dalam sejumlah potongan yang menghasilkan dua atau lebih salinan bola yang identik dengan bola aslinya. Ini artinya, kita bisa "menggandakan" bola tanpa menambah materi apa pun.

Namun, penting untuk memahami beberapa hal tentang paradoks ini:

Paradoks ini hanya berlaku untuk objek yang tak terhingga, dan hanya dalam konteks matematika. Dalam dunia fisik, ide ini bertentangan dengan hukum fisika dan prinsip-prinsip dasar seperti hukum kekekalan massa.

Konstruksi yang digunakan dalam paradoks ini sangat abstrak dan membutuhkan prinsip-prinsip matematika yang canggih, seperti aksioma Zermelo-Fraenkel (ZF) yang membentuk dasar teori himpunan modern.

Potongan-potongan yang dihasilkan dalam paradoks ini tidak memiliki bentuk atau sifat yang sama dengan potongan-potongan fisik yang dapat kita bayangkan dalam dunia nyata. Ini bukan pemotongan fisik yang dapat dilakukan dalam praktik sehari-hari.

Konsep dasar paradoks ini melibatkan pemetaan yang disebut "non-measurable", yang berarti tidak dapat diukur dalam arti konvensional. Potongan yang dihasilkan dalam paradoks ini bukanlah potongan fisik yang dapat diukur dengan metode konvensional.

Salah satu konsekuensi penting dari paradoks ini adalah hal ini mempertanyakan batasan kemampuan teori himpunan dalam merepresentasikan dunia fisik. Dalam konteks paradoks Banach-Tarski, teori himpunan bisa menghasilkan konsep yang sangat aneh dan tidak intuitif ketika diterapkan pada objek-objek fisik.

Paradoks ini bukan hanya masalah akademik yang tidak relevan. Hal ini telah mengarah pada pertanyaan yang lebih dalam tentang sifat matematika dan hubungannya dengan fisika dan realitas. Beberapa matematikawan dan filsuf telah mencoba mengeksplorasi paradoks ini dan memahaminya dalam konteks lebih luas dari filsafat matematika.

Hmm... ada yang mau menambahkan?